Поток напряженности электрического поля
Публикации по материалам Д. Джанколи. "Физика в двух томах" 1984 г. Том 2.
Рассмотрим площадку А, которую пронизывают силовые линии однородного электрического поля напряженностью Е (рис. 23.1).
Площадка может иметь форму прямоугольника (как на рисунке), круга или любую другую. Если напряженность электрического поля перпендикулярна площадке (рис. 23.1, а), то поток напряженности ФE через нее определяется как
ФE = ЕА
Если площадка А не перпендикулярна Е, а составляет с Е некоторый угол θ (рис. 23.1,6), то ее будет пронизывать меньше силовых линий. В этом случае поток напряженности через площадку будет определяться формулой:
ФE = ЕА⊥ = EAcosθ (поле Е однородно), (23.1а)
Здесь А⊥ - проекция площадки А на плоскость, перпендикулярную Е.
Площадку А⊥ можно представить вектором, направленным перпендикулярно ее поверхности, а по величине пропорциональным площади (рис. 23.1,6). Тогда θ - угол между Е и А, и поток напряженности можно записать в виде произведения двух векторов: ФE = ЕА [поле Е однородно]
В силу принятого нами определения поток напряженности допускает наглядное толкование, основанное на понятии силовых линий. Число силовых линий N, проходящих через единичную площадку, перпендикулярную направлению поля (А⊥), пропорционально напряженности электрического поля: Е ~ N/A⊥. Следовательно:
N ~ ЕА⊥ = ФE
т.е. поток напряженности поля через площадку пропорционален числу силовых линий, пересекающих ее поверхность.
Рассмотрим теперь более общий случай, когда электрическое поле Е неоднородно, а поверхность не плоская (рис. 23.2).
Разобьем эту поверхность на п элементов, площади которых обозначим ΔА1, ΔА2, ... , ΔАn. Разбиение должно быть таким, чтобы можно было считать каждый элемент ΔAi плоским и электрическое поле в пределах элемента однородным. Тогда поток напряженности через всю поверхность будет суммой
где Ei - напряженность поля, отвечающая элементу ΔAi. В пределе ΔAi > 0 сумма переходит в интеграл по всей поверхности, и равенство становится точным:
ФE = ∫Е · dА
Во многих случаях (и, в частности, в случае теоремы Гаусса) мы имеем дело с потоком через замкнутую поверхность, т.е. через поверхность, ограничивающую замкнутый объем, подобно шару или футбольному мячу (рис. 23.3)
До сих пор мы не учитывали существование неоднозначности в выборе направления вектора A; например, на рис. 23.1 вектор А может быть направлен как вправо вверх, так и влево вниз-в любом случае он все равно будет перпендикулярен поверхности. В случае замкнутой поверхности условились направлять вектор А (или dA) наружу из ограниченного поверхностью объема (рис. 23.4).
Для силовой линии, выходящей из объема (справа на рис. 23.4), угол θ между Е и dA меньше π/2 и cosθ > 0; для линии, входящей в объем (слева на рис. 23.4), 0 > π/2 и cosθ < 0. Соответственно поток, входящий в замкнутый объем, отрицателен (∫Е · cosθdА < 0), а поток, выходящий из объема, положителен. Формула (23.3) дает, таким образом, величину потока, выходящего из объема, ограниченного замкнутой поверхностью. Если значение ФE отрицательно, то результирующий поток направлен внутрь объема.
На рис. 23.3 число линий, входящих в объем, равно числу выходящих линий.
Поэтому ФE = 0 : результирующий поток через поверхность равен нулю. Поток ∫Е · dА oтличен от нуля лишь в том случае, когда какое-то число силовых линий начинается или заканчивается внутри замкнутой поверхности. А поскольку силовые линии могут начинаться или заканчиваться только на электрических зарядах, поток будет отличен от нуля лишь в том случае, когда суммарный заряд внутри поверхности не равен нулю. Например, поверхность А1 на рис. 23.5 окружает положительный заряд, и поток напряженности электрического поля через эту поверхность направлен наружу (ФE > 0); внутри поверхности А2 заключен такой же по величине отрицательный заряд, и поток направлен внутрь этой поверхности (ФE < 0). Для конфигурации, показанной на рис. 23.6, поток через поверхность отрицателен (подсчитайте число силовых линий!). Поток ФE зависит от заряда, и именно в этом состоит суть теоремы Гаусса.
Продолжение следует. Коротко о следующей публикации:
Теорема Гаусса
Альтернативные статьи:
Электрический ток. Определение,
Закон Ома для участка и для замкнутой цепи.
Замечания и предложения принимаются и приветствуются!