Постоянная времени цепи RC

Электрическая цепь RC

Рассмотрим ток в электрической цепи, состоящей из конденсатора ёмкостью C и резистора сопротивлением R, соединённых параллельно.
Значение тока заряда или разряда конденсатора определится выражением I = C(dU/dt), а значение тока в резисторе, согласно закону Ома, составит U/R, где U - напряжение заряда конденсатора.

Из рисунка видно, что электрический ток I в элементах C и R цепи будет иметь одинаковое значение и противоположное направление, согласно закону Кирхгофа. Следовательно, его можно выразить следующим образом:

Решаем дифференциальное уравнение C(dU/dt)= -U/R

Интегрируем:

Из таблицы интегралов здесь используем преобразование

Получаем общий интеграл уравнения: ln|U| = - t/RC + Const.
Выразим из него напряжение U потенцированием: U = e-t/RC * eConst.
Решение примет вид:

U = e-t/RC * Const.

Здесь Const - константа, величина, определяемая начальными условиями.

Следовательно, напряжение U заряда или разряда конденсатора будет меняться во времени по экспоненциальному закону e-t/RC.

Экспонента - функция exp(x) = ex
e – Математическая константа, приблизительно равная 2.718281828...


Постоянная времени τ

Если конденсатор емкостью C последовательно с резистором сопротивлением R подключить к источнику постоянного напряжения U, в цепи пойдёт ток, который за любое время t зарядит конденсатор до значения UC и определится выражением:

Тогда напряжение UC на выводах конденсатора будет увеличиваться от нуля до значения U по экспоненте:

UC = U(1 - e-t/RC)

При t = RC, напряжение на конденсаторе составит UC = U(1 - e-1) = U(1 - 1/e) .
Время, численно равное произведению RC, называется постоянной времени цепи RC и обозначается греческой буквой τ.

Постоянная времени τ = RC

За время τ конденсатор зарядится до (1 - 1/e)*100% ≈ 63,2% значения U.
За время 3τ напряжение составит (1 - 1/e3)*100% ≈ 95% значения U.
За время 5τ напряжение возрастёт до (1 - 1/e5)*100% ≈ 99% значения U.


Если к конденсатору емкостью C, заряженному до напряжения U, параллельно подключить резистор сопротивлением R, тогда в цепи пойдёт ток разряда конденсатора.

Напряжение на конденсаторе при разряде будет составлять UC = Ue-t/τ = U/et/τ.

За время τ напряжение на конденсаторе уменьшится до значения U/e, что составит 1/e*100% ≈ 36.8% значения U.
За время 3τ конденсатор разрядится до (1/e3)*100% ≈ 5% от значения U.
За время 5τ до (1/e5)*100% ≈ 1% значения U.

Параметр τ широко применяется при расчётах RC-фильтров различных электронных цепей и узлов.


Замечания и предложения принимаются по адресу horeff@mail.ru