Постоянная времени цепи RC
Электрическая цепь RC
Рассмотрим ток в электрической цепи, состоящей из конденсатора ёмкостью C и резистора сопротивлением R, соединённых параллельно.
Значение тока заряда или разряда конденсатора определится выражением I = C(dU/dt), а значение тока в резисторе,
согласно закону Ома, составит U/R, где U - напряжение заряда конденсатора.
Из рисунка видно, что электрический ток I в элементах C и R цепи будет иметь одинаковое значение и
противоположное направление, согласно закону Кирхгофа. Следовательно, его можно выразить следующим образом:
Решаем дифференциальное уравнение C(dU/dt)= -U/R
Интегрируем: 
Из таблицы интегралов здесь используем преобразование 
Получаем общий интеграл уравнения: ln|U| = - t/RC + Const.
Выразим из него напряжение U потенцированием: U = e-t/RC * eConst.
Решение примет вид:
U = e-t/RC * Const.
Здесь Const - константа, величина, определяемая начальными условиями.
Следовательно, напряжение U заряда или разряда конденсатора будет меняться во времени по экспоненциальному закону e-t/RC.
Экспонента - функция exp(x) = ex
e – Математическая константа, приблизительно равная 2.718281828...
Постоянная времени τ
Если конденсатор емкостью C последовательно с резистором сопротивлением R подключить к источнику постоянного напряжения U, в цепи пойдёт ток, который за любое время t зарядит конденсатор до значения UC и определится выражением:
Тогда напряжение UC на выводах конденсатора будет увеличиваться от нуля до значения U по экспоненте:
UC = U(1 - e-t/RC)
При t = RC, напряжение на конденсаторе составит UC = U(1 - e-1) = U(1 - 1/e) .
Время, численно равное произведению RC, называется постоянной времени цепи RC и обозначается греческой буквой τ.
Постоянная времени τ = RC
За время τ конденсатор зарядится до (1 - 1/e)*100% ≈ 63,2% значения U.
За время 3τ напряжение составит (1 - 1/e3)*100% ≈ 95% значения U.
За время 5τ напряжение возрастёт до (1 - 1/e5)*100% ≈ 99% значения U.
Если к конденсатору емкостью C, заряженному до напряжения U, параллельно подключить резистор сопротивлением R, тогда в цепи пойдёт ток разряда конденсатора.
Напряжение на конденсаторе при разряде будет составлять UC = Ue-t/τ = U/et/τ.
За время τ напряжение на конденсаторе уменьшится до значения U/e, что составит 1/e*100% ≈ 36.8% значения U.
За время 3τ конденсатор разрядится до (1/e3)*100% ≈ 5% от значения U.
За время 5τ до (1/e5)*100% ≈ 1% значения U.
Параметр τ широко применяется при расчётах RC-фильтров различных электронных цепей и узлов.
Замечания и предложения принимаются и приветствуются!