Интегрирующие и дифференцирующие цепи
Интегрирующая цепь RC
Рассмотрим электрическую цепь из резистора сопротивлением R и конденсатора ёмкостью C, представленную на рисунке.
Элементы R и C соединены последовательно,
значит, ток в их цепи можно выразить, исходя из производной напряжения заряда конденсатора dQ/dt = C(dU/dt) и закона Ома U/R.
Напряжение на выводах резистора обозначим UR.
Тогда будет иметь место равенство:
Проинтегрируем последнее выражение 
. Интеграл левой части уравнения будет равен Uout + Const .
Перенесём постоянную составляющую Const в правую часть с тем же знаком.
В правой части постоянную времени RC
вынесем за знак интеграла:
В итоге получилось, что выходное напряжение Uout прямо-пропорционально интегралу напряжения на выводах резистора,
следовательно, и входному току Iin.
Постоянная составляющая Const не зависит от номиналов элементов цепи.
Чтобы обеспечить прямую пропорциональную зависимость выходного напряжения Uout от интеграла входного Uin, необходима пропорциональность входного напряжения от входного тока.
Нелинейное соотношение Uin/Iin во входной цепи вызвано тем,
что заряд и разряд конденсатора происходит по экспоненте e-t/τ, которая наиболее нелинейна при t/τ ≥ 1,
то есть, когда значение t соизмеримо или больше τ.
Здесь t - время заряда или разряда конденсатора в пределах периода.
τ = RC - постоянная времени - произведение величин R и C.
Если взять номиналы RC цепи, когда τ будет значительно больше t,
тогда начальный участок экспоненты для короткого периода (относительно τ) может быть достаточно линейным,
что обеспечит необходимую пропорциональность между входным напряжением и током.
Для простой цепи RC постоянную времени обычно берут на 1-2 порядка больше периода переменного входного сигнала,
тогда основная и значительная часть входного напряжения будет падать на выводах резистора, обеспечивая в достаточной степени линейную зависимость
Uin/Iin ≈ R.
В таком случае выходное напряжение Uout будет с допустимой погрешностью пропорционально интегралу входного Uin.
Чем больше величины номиналов RC, тем меньше переменная составляющая на выходе, тем более точной будет кривая функции.
В большинстве случаев, переменная составляющая интеграла не требуется при использовании таких цепей, нужна только постоянная Const, тогда номиналы RC можно выбирать по возможности большими, но с учётом входного сопротивления следующего каскада.
В качестве примера, сигнал с генератора - положительный меандр 1V периодом 2 mS подадим на вход простой интегрирующей цепи RC с номиналами:
R = 10 kOhm, С = 1 uF. Тогда τ = RC = 10 mS.
В данном случае постоянная времени лишь в пять раз больше времени периода, но визуально интегрирование прослеживается в достаточной степени точно.
График показывает, что выходное напряжение на уровне постоянной составляющей 0.5в будет треугольной формы, потому как участки,
не меняющиеся во времени, для интеграла будут константой (обозначим её a), а интеграл константы будет линейной функцией.
∫adx = ax + Const. Величина константы a определит тангенса угла наклона линейной функции.
Проинтегрируем синусоиду, получим косинус с обратным знаком ∫sinxdx = -cosx + Const.
В данном случае постоянная составляющая Const = 0.
Если подать на вход сигнал треугольной формы, на выходе будет синусоидальное напряжение.
Интеграл линейного участка функции - парабола. В простейшем варианте ∫xdx = x2/2 + Const.
Знак множителя определит направление параболы.
Недостаток простейшей цепочки в том, что переменная составляющая на выходе получается очень маленькой относительно входного напряжения.
Рассмотрим в качестве интегратора Операционный Усилитель (ОУ) по схеме, показанной на рисунке.
С учётом бесконечно большого сопротивления ОУ и правила Кирхгофа здесь будет справедливо равенство:
Напряжение на входах идеального ОУ здесь равно нулю, тогда на выводах конденсатора
UC = Uout = - Uin .
Следовательно, Uout определится, исходя из тока общей цепи.
При номиналах элементов RC, когда τ = 1 Sec,
выходное переменное напряжение будет равно по значению интегралу входного. Но, противоположно по знаку.
Идеальный интегратор-инвертор при идеальных элементах схемы.
Дифференцирующая цепь RC
Рассмотрим дифференциатор с применением Операционного Усилителя.
Идеальный ОУ здесь обеспечит равенство токов IR = - IC по правилу Кирхгофа.
Напряжение на входах ОУ равно нулю, следовательно, выходное напряжение Uout = UR = - Uin = - UC .
Исходя из производной заряда конденсатора, закона Ома и равенства значений токов в конденсаторе и резисторе, запишем выражение:
Uout = RIR = - RIC = - RC(dUC /dt) = - RC(dUin /dt)
Отсюда видим, что выходное напряжение Uout пропорционально производной заряда конденсатора dUin /dt , как скорости изменения входного напряжения.
При величине постоянной времени RC, равной единице, выходное напряжение будет равно по значению производной входного напряжения, но противоположно по знаку. Следовательно, рассмотренная схема дифференцирует и инвертирует входной сигнал.
Производная константы равна нулю, поэтому постоянная составляющая при дифференцировании на выходе будет отсутствовать.
В качестве примера, подадим на вход дифференциатора сигнал треугольной формы.
На выходе получим прямоугольный сигнал.
Производная линейного участка функции будет константой, знак и величина которой определится наклоном линейной функции.
Для простейшей дифференцирующей цепочки RC из двух элементов используем пропорциональную зависимость выходного напряжения от производной напряжения на выводах конденсатора.
Uout = RIR = RIC = RC(dUC /dt)
Если взять номиналы элементов RC, чтобы постоянная времени была на 1-2 порядка меньше длины периода, тогда отношение приращения входного напряжения к приращению времени в пределах периода может определять скорость изменения входного напряжения в определённой степени точно. В идеале это приращение должно стремиться к нулю. В таком случае основная часть входного напряжения будет падать на выводах конденсатора, а выходное будет составлять незначительную часть от входного, поэтому для вычислений производной такие схемы практически не используются.
Наиболее часто дифференцирующие и интегрирующие цепи RC применяют для изменения длины импульса в логических и цифровых устройствах.
В таких случаях номиналы RC рассчитывают по экспоненте e-t/RC исходя из длины импульса в периоде и требуемых изменений.
Например, ниже на рисунке показано, что длина импульса Ti на выходе интегрирующей цепочки
увеличится на время 3τ. Это время разряда конденсатора до 5% амплитудного значения.
На выходе дифференцирующей цепи амплитудное напряжение после подачи импульса появляется мгновенно,
так как на выводах разряженного конденсатора оно равно нулю.
Далее следует процесс заряда и напряжение на выводах резистора убывает. За время 3τ оно уменьшится до 5% амплитудного значения.
Здесь 5% - величина показательная. В практических расчётах этот порог определится входными параметрами применяемых логических элементов.
Замечания и предложения принимаются и приветствуются!