Поток напряженности электрического поля

Публикации по материалам Д. Джанколи. "Физика в двух томах" 1984 г. Том 2.

Рассмотрим площадку А, которую пронизывают силовые линии однородного электрического поля напряженностью Е (рис. 23.1).

Площадка может иметь форму прямоугольника (как на рисунке), круга или любую другую. Если напряженность электрического поля перпендикулярна площадке (рис. 23.1, а), то поток напряженности Ф_E через нее определяется как

Ф_E = ЕА

Если площадка А не перпендикулярна Е, а составляет с Е некоторый угол θ (рис. 23.1,6), то ее будет пронизывать меньше силовых линий. В этом случае поток напряженности через площадку будет определяться формулой:

Ф_E = ЕА⊥ = EAcosθ (поле Е однородно), (23.1а)

Здесь А⊥ - проекция площадки А на плоскость, перпендикулярную Е.

Площадку А⊥ можно представить вектором, направленным перпендикулярно ее поверхности, а по величине пропорциональным площади (рис. 23.1,6). Тогда θ - угол между Е и А, и поток напряженности можно записать в виде произведения двух векторов: Ф_E = ЕА [поле Е однородно]

В силу принятого нами определения поток напряженности допускает наглядное толкование, основанное на понятии силовых линий. Число силовых линий N, проходящих через единичную площадку, перпендикулярную направлению поля (А⊥), пропорционально напряженности электрического поля: Е ~ N/A⊥. Следовательно:

N ~ ЕА⊥ = Ф_E

т.е. поток напряженности поля через площадку пропорционален числу силовых линий, пересекающих ее поверхность.

Рассмотрим теперь более общий случай, когда электрическое поле Е неоднородно, а поверхность не плоская (рис. 23.2). Разобьем эту поверхность на п элементов, площади которых обозначим ΔА₁, ΔА₂, ... , ΔА_n. Разбиение должно быть таким, чтобы можно было считать каждый элемент ΔA_i плоским и электрическое поле в пределах элемента однородным. Тогда поток напряженности через всю поверхность будет суммой

где E_i - напряженность поля, отвечающая элементу ΔA_i. В пределе ΔA_i > 0 сумма переходит в интеграл по всей поверхности, и равенство становится точным:

Ф_E = ∫Е · dА

Во многих случаях (и, в частности, в случае теоремы Гаусса) мы имеем дело с потоком через замкнутую поверхность, т.е. через поверхность, ограничивающую замкнутый объем, подобно шару или футбольному мячу (рис. 23.3)

До сих пор мы не учитывали существование неоднозначности в выборе направления вектора A; например, на рис. 23.1 вектор А может быть направлен как вправо вверх, так и влево вниз-в любом случае он все равно будет перпендикулярен поверхности. В случае замкнутой поверхности условились направлять вектор А (или dA) наружу из ограниченного поверхностью объема (рис. 23.4).

Для силовой линии, выходящей из объема (справа на рис. 23.4), угол θ между Е и dA меньше π/2 и cosθ > 0; для линии, входящей в объем (слева на рис. 23.4), 0 > π/2 и cosθ поток, входящий в замкнутый объем, отрицателен (∫Е · cosθdА . Формула (23.3) дает, таким образом, величину потока, выходящего из объема, ограниченного замкнутой поверхностью. Если значение Ф_E отрицательно, то результирующий поток направлен внутрь объема.

На рис. 23.3 число линий, входящих в объем, равно числу выходящих линий. Поэтому Ф_E = 0 : результирующий поток через поверхность равен нулю. Поток ∫Е · dА oтличен от нуля лишь в том случае, когда какое-то число силовых линий начинается или заканчивается внутри замкнутой поверхности. А поскольку силовые линии могут начинаться или заканчиваться только на электрических зарядах, поток будет отличен от нуля лишь в том случае, когда суммарный заряд внутри поверхности не равен нулю. Например, поверхность А₁ на рис. 23.5 окружает положительный заряд, и поток напряженности электрического поля через эту поверхность направлен наружу (Ф_E > 0); внутри поверхности А₂ заключен такой же по величине отрицательный заряд, и поток направлен внутрь этой поверхности (Ф_E Ф_E зависит от заряда, и именно в этом состоит суть теоремы Гаусса.

Продолжение следует. Коротко о следующей публикации:

Теорема Гаусса

Альтернативные статьи:
Электрический ток. Определение,
Закон Ома для участка и для замкнутой цепи.