Двухполупериодный выпрямитель

Рассмотрим схему выпрямителя с диодным мостом и конденсатором фильтра 100 uF при подключении в сеть 220 V 50 Hz с активной нагрузкой 1 kOhm.

На нагрузке получим постоянное напряжение (DC), приблизительно равное амплитудному значению напряжения сети 220*√2 = 311 V.

В реальности, из за наличия переменной составляющей (AC) в виде пульсаций и падения напряжения на прямосмещённых диодах, значение DC будет на несколько вольт меньше.

Проанализируем вкратце ток в сети, который создаст устройство с подобным выпрямителем без использования специальных фильтров на входе.

Большую часть времени диоды моста будут заперты положительным напряжением на конденсаторе, зарядившемся за предыдущий полупериод до амплитудного значения, и открыться смогут лишь по мере разряда конденсатора в нагрузку, когда напряжение на нём сравняется с нарастающим напряжением сети в следующем полупериоде.
Открываясь, диоды подключат конденсатор к сети, практически, напрямую. В этом случае ток в конденсаторе определится напряжением сети и реактивным сопротивлением конденсатора, ёмкость которого обычно выбирают достаточно большой в целях уменьшения пульсаций.
Относительно большой импульс тока (в нашем случае почти 4А) быстро зарядит конденсатор до амплитудного значения напряжения, которое закроет диоды, и медленный процесс разряда конденсатора в нагрузку повторится до очередного полупериода, когда напряжение сети, нарастая по синусоиде, вновь достигнет значения напряжения на конденсаторе.
В результате в сети будут короткие импульсы тока, амплитуда и длительность которых будет зависеть от ёмкости конденсатора фильтра. В нашем примере c конденсатором 100 uF и нагрузкой 1 k - это импульсы порядка 4 A при постоянном токе в нагрузке примерно 0.3 A.

Можно более детально рассмотреть токи в конденсаторе и сети по картинке ниже, где ток показан относительно напряжения в масштабе 100/1 для более наглядного представления временных интервалов.

В самый первый полупериод при подключении выпрямителя к сети, когда конденсатор разряжен, ток его заряда определится выражением: I(t) = ((Uamp-Ud)/Xc)*cos(t).
Здесь Xc - реактивное сопротивление конденсатора, в нашем примере равное 1/(2πfC) = 31.8 Ohm,
Ud - падение напряжения на двух открытых диодах моста, будем считать примерно по 1 V на каждом диоде.
Амплитуда тока в начальный момент времени достигнет ((311-2)/31.8)*cos(0)= 9.7 A и будет спадать до нуля по косинусоиде в течении первых 5 миллисекунд.

Далее, по истечении 5 mS, когда конденсатор зарядится до максимального значения Uamp-Ud, напряжения в сети начнёт убывать по синусоиде, диоды закроются и начнётся медленный процесс разряда конденсатора в нагрузку по экспоненте . Розовая линия U_R на рисунке.
e - логарифмическая константа ( 2.718...),
τ - постоянная времени, равная произведению RC, в нашем случае для 1 k и 100 uF, τ = 0.1 S.
В качестве напряжение U в экспоненте можно грубо принять амплитудное значение с учётом диодов Uamp-Ud, либо, более точно, с учётом сдвига α, U=(Uamp-Ud)*sin(π/2-α)

Напряжение в сети меняется по синусоидальному закону: U(t)=Uamp*(sin(ωt).
Напряжение, выпрямленное диодами, (чёрная линия): U(t)=(Uamp-Ud)*|sin(ωt)|
Решив уравнение в интервале от 5 до 10 mS, получим время отпирания диодов.
В нашем примере это будет примерно 8.7 mS от вершины синусоиды. В радианах 0.0087*ω = 2.73.
С учётом первых 5 mS (π/2) вычисляем напряжение в это время:
U (t) = (Uamp-Ud)*sin(π/2+2.73) = 309*0.916 = 283 V.

Итак, напряжение за время разряда конденсатора по экспоненте упадёт с 309 до 283 V, сравняется с нарастающим напряжением сети и тогда откроются диоды, подключив конденсатор непосредственно к переменному напряжению сети .
Ток в конденсаторе подчинится косинусоидальному закону (коричневый пунктир на рисунке) и сразу достигнет величины:
Ic = ((Uamp-Ud)/Xc)*|cos(π/2+2.73)|.
В нашем случае это будет (309/31.8)*0.4 = 3.89 A.
Далее ток будет спадать по косинусоиде и, поменяв направление при пересечении нулевой линии (на графике), достигнет значения тока в нагрузке, а напряжение на нём достигнет амплитудного.
Тогда диоды закроются и конденсатор снова начнёт разряжаться в нагрузку по экспоненте.

Ток в сети будет равен сумме токов в конденсаторе и нагрузке. В импульсе он достигнет большего значения чем в конденсаторе на величину, равную току в нагрузке в момент отпирания диодов.
Красная линия на рисунке в максимуме max(Ipulse) = max(Ic) + 283/R1 = 3.89 + 0.283 = 4.17 A.
Ток в сети будет спадать от значения max по косинусоиде до нуля с учётом сдвига фаз. Тангенс δ для параллельного соединения определится соотношением реактивного и активного сопротивлений tg(δ) = Xc/R1.
Тогда угол δ = arctg(Xc/R1).

Постоянный ток в нагрузке вычислим, используя закон Ома I=U/R.

Если грубо посчитать среднее значение пульсаций как половину их амплитуды (309-283)/2 = 13 V, тогда с учётом пульсаций можно допустить значение постоянной составляющей DC напряжения на нагрузке 309-13=296 V.
Соответственно, постоянную составляющую тока при таком приближении считаем 0.296 A.

Для убедительности проинтегрируем в программе Mathcad среднее и среднеквадратичное значение напряжения в полупериоде 10 mS функции экспоненты и модуля синусоиды на соответствующих им интервалах со сдвигом π/2. Получим значение DC.

Среднеквадратичное (действующее) значение напряжения на нагрузке определится следующим выражением:

В качестве примера можно посмотреть разложение тока выпрямителя на гармоники преобразованием Фурье, а так же вычисление коэффициента мощности на страничке здесь.

Следует отметить, что в таком виде, без специальных фильтров, выпрямители в бытовых и промышленных приборах не используются.
В целях уменьшения потерь энергии в виде высших гармонических составляющих тока, производителей электронной техники обязывают устанавливать Корректоры Коэффициента Мощности (Power Factor Correction) во все потребители электроэнергии сети, содержащие нелинейные элементы в силовых цепях. Обычно это LC-фильтры, либо активные PFC, которые преобразовывают любую форму тока в форму, близкую к синусоидальной.
Почитать немного подробнее про Power Factor можно на странице Коэффициент Мощности.

Замечания и предложения принимаются и приветствуются!